Desarrollo del Teorema:

A continuación pasamos a desarrollar dicho teorema de manera detallada, y al concluir se proponen ejercicios resueltos y para resolver (Estos contenidos fueron extraídos del libro "Álgebra, de Luis Zerraga".
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Introduccion:

Teorema del binomio

En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia n-ésima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de  (que también es representado ocasionalmente como  o ) ) se obtiene la siguiente representación:

El coeficiente de  en el desarrollo de es ; donde  recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientes del triangulo de pascal:

(2))

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Teorema generalizado del binomio (Newton):

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3))   

Donde r puede ser cualquier número real (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Coeficiente binomial:

Para aplicar el Teorema del binomio, el coeficiente binomial se presenta como  de forma sencilla:

Historia:

Atribuido a Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000. Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, ya fuera diferenciación o bien por integración.

El descubrimiento de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.

Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

El teorema binómico para n=2 se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.), asimismo el término «coeficiente binomial» fue introducido por Michel Stifer en el siglo XVI.

El creador del "Teorema del Binomio" fue Isaac Newton, a continuación les dejamos una breve biografía de él:

Sir Isaac Newton (4 de enero de 1643 - 31 de marzo de 1727) fue un físico, filósofo, teólogo,inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.

Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.

Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.

Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución científica. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."